Poisson

DISTRIBUCION DISCRETA DE PROBABILIDAD Distribucion de Poisson

Existen eventos que no ocurren como resultados de un número definido de pruebas de un experimento, sino en puntos aleatorios del tiempo o espacio en la que cada punto representa una ocurrencia del evento. Para eventos de este tipo, nos interesa sólo el número de ocurrencia del evento, no su falta de ocurrencia.

Características: En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc: - Nro. de autobuses que llegan al terminal durante cierta hora. - Nro. de errores de impresión en cada página de un libro. - Nro. de bacterias por cm2 de cultivo - Nro. de llamadas telefónicas a una central; por hora, minuto, etc. - Nro. de defectos de la superficie de una mesa, de un grupo de mercancías, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION DE POISSON
Ejemplo: Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) 4 cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? Solución: a)Los datos a usar son: b) En este caso estamos interesados en que se reciban 10 cheques sin fondos en dos días consecutivos. Ejemplo:

En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

Solución:

a) Si tenemos 0.2 imperfecciones en promedio por minuto, en 3 minutos tendremos en promedio:0.6 imperfeciones. Además estamos interesado en que aparezca 1 imperfección en 3 minutos

b) Si tenemos 0.2 imperfecciones en promedio por minuto, en 5 minutos tendremos en promedio: 1 imperfeción. Además estamos interesado en que aparezca al menos 2 imperfecciones en 5 minutos; es decir estamos interesados en que el número de éxitos sea: 2,3,4,5,6,7,...Para ello buscaríamos las imperfecciones menores a dos (x=0, x=1) y por diferencia (restando de uno)obtendríamos la probabilidad del número de éxitos mayor o igual a 2

c) Cuando más una (1)imperfección en 15 minutos. Aqui se refiere a que x sólo puede tomar dos valores: x=0 y x=1. Además si tenemos 0.2 imperfecciones en promedio por minuto; en 15 minutos tendremos en promedio: 3 imperfecciones

RELACION ENTRE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y DE POISSON.

En la Distribución Binomial, si N es grande, mientras que la probabilidad p de ocurrencia de un suceso está cerca de cero, de modo que q =(1-p) está cerca de 1. En la práctica se puede considerar N igual grande si el número de repeticiones del experimento (ensayos)es mayor o igual a 50 (N=> 50)mientras que N*p es menor que 5. En tales casos la distribución binomial se aproxima mucho a la distribución de Poisson, tomando en cuenta que:

Ejemplo:

Un 10% de los tornillos producidos en un cierto proceso de fabricación resulta ser defectuoso. Hallar la probabilidad de que en una muestra de 50 tornillos elegidos al azar sean exactamente 2 los defectuosos. Resolverlo mediante: a) La distribución binomial, (b) Mediante aproximación de Poisson a la binomial.

Solución:
Datos:
N=50
p=10% (porcentaje de tornillos defectuosos)
q=1-p=0.90
x=2 (excatamente dos sean defectuosos)
Si lo deseas, puedes bajarte un archivo de ayuda en: Click Aqui

Distribución Normal

Distribución Continua de Probabilidad

"Existen las mentiras, grandes mentiras, y ... estadísticas" B. Disraeli

La Distribución Normal, Se dice que una variable aleatoria tiene una Distribución Normal si es continua, si existen las constantes: {<span\; style="color:\; \#3333ff;"><b>\mu </b></span>}(con un valor entre menos infinito y más infinito) y $$\mathrm{<span\; style="color:\; \#3366ff;"><b>\sigma </b></span>}$$(con un valor mayor que cero), y si su función de densidad está dada por la siguiente expresión:

donde X es una variable aleatoria normal, μ es la media, σ es la desviación típica, π es aproximadamente igual a: 3.14159, y e es aproximadamente igual: 2.71828.

Función densidad de Probabilidad.

• Dado que la variable aleatoria continua es definida sobre un rango continuo de valores (llamado el dominio de la variable), la gráfica de la función de densidad también será continua sobre ese rango.
• El área limitada por la curva de la función de densidad y el eje de las x es igual a uno (=1).
• La probabilidad que una variable aleatoria asuma un valor entre a y b es igual al área debajo la función de densidad, limitada por a y b.

Por ejemplo, considere la función de densidad de probabilidad mostrada en la siguiente gráfica. Suponga que deseamos conocer la probabilidad que la variable aleatoria X sea menor que o igual a a. La probabilidad que X sea menor o igual a a es igual al área bajo la curva limitada por menos infinito y la a. (como se indica por la zona sombreada)..

Nota: El área rayada en la gráfica representa la probabilidad de que la variable aleatoria X es menor o igual a la a. Esto es una probabilidad acumulativa. Sin embargo, la probabilidad de que X sea exactamente igual a la a, sería cero. Una variable continua puede tomar un número infinito de valores. La probabilidad que sea igual a un valor específico (tal como a ) es siempre cero.

La Curva Normal.

La gráfica de la distribución normal depende de dos factores - la media y la desviación típica-. La media de la distribución determina la ubicación del centro de la gráfica, y la desviación estándar determina la altura y amplitud de la gráfica. Cuando la desviación es grande, la curva es baja y amplia; cuando la desviación es pequeña, la curva es alta y estrecha. Toda distribución normal se asemeja a una curva simétrica de forma acampanada.

Probabilidad y la Curva Normal.

La distribución normal es una distribución continua de probabilidad. Esto tiene varias implicaciones para la probabilidad.

• El área total bajo la curva normal es igual a uno (= 1).
• La probabilidad que una variable aleatoria normal X sea igual a cualquier valor particular es cero (= 0 ).
• La probabilidad que X sea igual o mayor a la a corresponde al área bajo la curva normal limitada por a y más infinito (como se indica por el área no sombreada en la siguiente figura ).
• La probabilidad que X sea menor o igual que a está dada por el área bajo la curva normal limitada por a y menos infinito. (como está indicado por la zona sombreada en la siguiente figura).

Adicionalmente, cada curva normal (sin tomar en cuenta sus media o desviación típica) conforme a la siguiente "regla":

• Cerca del 68% del área bajo la curva esta determinada por 1 una desviación tipica a partir de la media.
• Cerca del 95% del área bajo la curva está determinada por 2 desviaciones típica a partir de la media.
• Cerca del 99.7% del área bajo la curva caen dentro de 3 desviaciones típicas de la media.

Propiedades adicionales de la Normal a)Un cambio en el valor de {<span\; style="color:\; \#3333ff;"><b>\mu </b></span>}desplaza toda la distribución normal, mientras que un cambio en el valor de σ $$\mathrm{}$$ simplemente altera su posición relativa con relación a una escala fija. Estos hechos indican que la Distribución Normal es realmente una familia de distribuciones. b)Un cambio lineal en la escala para una Distribución Normal, implica una nueva Distribución Normal; es decir, si X es una variable Normal, entonces: Y=a+bX, (para a diferente de cero), es también una variable normal. c)Si X1, X2, X3,...,Xn son variables normales independientes, entonces su suma, S, es también una variable normal. Además, debido a la independencia, la propiedad aditiva es válida tanto para la esperanza como para la varianza; es decir, la esperanza de S es la suma de las esperanzas de las n variables normales. Asimismo, la varianza de S es la suma de las varianzas de las n variables normales. d)Si la variable aleatoria X está normalmente distribuida con {<span\; style="color:\; \#3333ff;"><b>\mu </b></span>}y σ$$\mathrm{}$$, entonces : z=(X-{\mu })/{\sigma }está también normalmente distribuida. Esta transformación de X a Z, se le llama transformación Z tiene el efecto de reducir X a unidades en términos de desviaciones estándar. En otras palabras, dado un valor de X, el correspondiente valor de Z nos dice cuán lejos y en qué dirección está X de su media {<span\; style="color:\; \#3333ff;"><b>\mu </b></span>}en términos de su desviación estándar $$\mathrm{}$$. Por ejemplo, Z=1.5 significa que el valor particular de X es 1.5$$\mathrm{}$$ a la derecha de {<span\; style="color:\; \#3333ff;"><b>\mu </b></span>}. De manera similar, Z = -2 significa que el valor particular de X es 2 σ a la izquierda de {<span\; style="color:\; \#3333ff;"><b>\mu </b></span>.\; Esta\; propiedad\; de\; una\; variable\; normal,\; nos\; permite\; calcular\; las\; probabilidades\; normales,}
{cualesquiera\; que\; sean\; los\; valores\; de<b><span\; style="color:\; \#3333ff;">\mu </span></b>y<b><span\; style="color:\; \#3333ff;">\sigma </span></b>,\; a\; partir\; de\; un\; solo\; cuadro\; de\; probabilidad\; para\; la}
{distribución\; normal\; estandarizada\; (=tipificada)}

Ejemplo No: 1.

El promedio de luz de un bombillo manaufacturado por Acme Corporation, alcanza los 300 días con una desviación estándar de 50 dias. Asumiendo que la vida del bombillo está normalmente distribuida. ¿Cuál es la probabilidad que un bombillo de Acme dure al menos 365 días ?

Solución:

Dada la media de 300 días y una desviación estándar de 50 días, deseamos encontrar la probabilidad acumulada que la vida del bombillo sea menor o igual a 365 días. Así, conocemos los siguientes datos: * El valor de la variable aleatoria normal es de 365 días. * La media es igual a 300 días. * La desviación estándar es igual a 50 días. Introducimos estos valores en la calculadora de la Distribución Normal y calculamos la probabilidad acumulada. La respuesta es: P( X <= 365) = 0.90. Es decir, hay un 90 % de probabilidad de que el bombillo se quemará dentro de 365 días.

En caso de no tener una calculadora de éste tipo, acudimos a la Distribución Normal Estándar, un caso especial de la Distribución Normal. Es la distribución que ocurre cuando una variable aleatoria normal tiene media igual a cero y una desviación típica igual a uno.

La variable aleatoria normal de una distribución normal estándar es llamado un resultado típico o resultado z (tipificado). Cada variable aleatoria normal X puede ser transformada en un resultado tipificado, a través de la siguiente ecuación:

z = (X - μ) / σ

donde X es una variable aleatoria normal, μ es la media de X, y σ es la desviación estándar de X.

Tabla de la Distribucion Normal Estándar. Una tabla de la distribución normal estándar muestra la probabilidad acumulada asociada con un particular resultado z (valor tipificado). La columna z muestra el número tipificado y las otras dos columnas f(-z) y f(z) muestran la probabilidad acumulada desde menos infinito hasta el valor z, dependiendo si éste es negativo o positivo. Por ejemplo, una sección de la tabla normal estándar es reproducida abajo. Para encontrar la probabilidad acumulada de un valor z igual a: -1.31 buscamos por la primera columna el valor 1.31 luego nos desplazamos a la segunda columna f(-z) por ser un número negativo. La tabla muestra que la probabilidad de que una variable normal estándar sea menor que: -1.31 es de 0.0951; esto es: P(Z < -1.31) = 0.0951.

De hecho, se puede desear conocer la probabilidad entre un valor dado y más infinito. O se puede desear conocer la probabilidad que una variable aleatoria normal esté entre dos valores dados. Estas probabilidades son fáciles de calcular a partir de una tabla de distribución normal. De la siguiente manera:

*Sea: P(Z > a), la probabilidad que una variable normal estándar (= z) sea más grande que un valor dado (= a). Se obtiene mediante la siguiente fórmula:

La Distribución Normal como un Modelo de Medidas.

A menudo, fenómenos en el mundo real siguen una normal o se aproximan a una distribución normal. Esto permite a los investigadores a usar la distribución normal como un modelo para determinar las probabilidades asociadas con dichos fenómenos. Típicamente, el análisis involucra dos pasos: *Transformar los datos brutos. Usualmente los datos brutos no están expresados en unidades tipificadas Z . Se deben transformar a unidades Z usando la ecuación ya vista recientemente:

z = (X - μ) / σ.

*Encontrar la probabilidad. Una vez los datos han sido transformados en unidades tipificadas, se puede utilizar las tablas de las distribución normal estándar, calculadoras on line o manejar calculadoras gráficas para hallar las probabilidades asociadas con las unidades tipificadas Z.

Problema:

La media de los diámetros interiores de una muestra de 200 arandelas producidas por una máquina es de: 0.502 pulgadas y la desviación típica: 0.005 pulgadas. El propósito para el que se destinan estas arandelas permite una tolerancia máxima en el diámetro de: 0.496 hasta 0.508 pulgadas, de otro modo, las arandelas se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de arandelas defectuosas producidas por la máquina, suponiendo que los diámetros se distribuyen normalmente.

Solución:

El rango de tolerancia para que las arandelas sean aceptadas como buena, está dado por el rango: 0.496 hasta 0.508. Estas medidas debemos tipificarlas y dibujarlas como una distribución normal

Problema:

La media de los pesos de 500 estudiantes de la Universidad de Los Andes es de: 151 libras y la desviación típica: 15 libras. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan (a) entre 120 y 155 libras, (b) más de 185 libras.

Solución:

Binomial

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

En esta sociedad inversa, una buena forma de mentir es decir siempre la verdad. El 95% de las "personas" no te creerá y lograrás bastante enemigos.../Augusto Jiménez Márquez

Una distribución de probabilidad es un conjunto de valores distribuidos de acuerdo a la teoría de la probabilidad. Cuando los valores en un conjunto de datos son discretos, la distribución se denomina DISTRIBUCION DISCRETA DE PROBABILIDAD y cuando los valores son datos continuos, entonces se denomina DISTRIBUCION CONTINUA DE PROBABILIDAD .

Distribucion Binomial

a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, aprueba, no aprueba, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.

c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.

d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante. A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos permita cualquier problema que tenga este tipo de distribución.

Ejemplo: Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 caras.

Solución:

Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer es identificarlo como un problema que tiene una distribución binomial, y podemos decir que efectivamente así es, ya que se trata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, cara o sello, cuyas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los demás y el número de ensayos o repeticiones del experimento son constantes ( n = 3).

Para obtener la fórmula, definiremos lo siguiente:

n = número de lanzamientos de moneda.(n=3)

x = número de “éxitos” requeridos .(x=2)

p= (aparezca cara) =1/2

q =(aparezca sello) =1/2

Resolvemos la combinatoria y los productos indicados para encontrar la probabilidad pedida de que aparezcan 2 caras.

Por lo tanto la probabilidad de que aparezcan 2 caras (éxito) es igual a: 0.375

Para calcular la media y la desviación estándar de un experimento que tenga una distribución Binomial usaremos las siguientes fórmulas:

Media o valor esperado:

Donde: n = número de ensayos o repeticiones del experimento P = probabilidad de éxito o la probabilidad referente al evento del cual se desea calcular la media que se refiere la media q = complemento de P (q = 1-p)

Desviación estándar:

Ejemplo: Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos. Solución:

a)Dos accidentes se atribuya a errores humanos *

n = 5

x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos

x = 2 accidentes debidos a errores de tipo humano

p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75

q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25

b) Como máximo uno de los accidentes se atribuya a errores humanos.
*
n = 5
x = 0 + x= 1
p = 0.75
q = 0.25
c) Tres de los accidentes no se atribuyan e errores humanos.

En este caso cambiaremos el valor de p (representa ahora la probabilidad de que un accidente no se atribuya a errores humanos)

n =5

x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo humano

x = 3

p = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25

q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75

Luego la probabilidad solicitada es:

P(x=3;n=5,p=0.25)=10 * 0.0156*0.5625 =0.08775

Ejemplo:

Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.

a) El vapor se condense en 4 de los tubos:

n =12

x = variable que nos define el número de tubos en que el vapor se condensa

x = 4 tubos en el que el vapor se condensa

p =p(se condense el vapor en un tubo a 10 atm)= 0.40

q = p(no se condense el vapor en un tubo a 10 atm) = 1-p=0.60

b) El vapor se condense en más de 2 tubos.

Para resolver esta parte, buscamos la probabilidad de que los tubos no se condensen en los siguientes casos: x=0, x=1 y x=2. Sumamos estas probabilidades y luego la restamos de 1, la diferencia será la probabilidad solicitada de que el vapor se condense en más de 2 tubos.

n=12

x=0, x=1, x=2

p=0.60 (probabilidad de que los tubos no se condensen, sería el éxito en este caso)

q=0.40

C) Que exactamente 5 tubos se condensen:

n= 12

x= 5

p=0.40 (probabilidad de éxito; que se condensen)

q= 1-p=1-0.40=0.60 (probabilidad de fracaso, no se condensen)

Ejemplo:

La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que; a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB, b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c)que entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB, d)encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2 dB y su desviación estándar.

Solución: a)En sólo 5 de los amplificadores, el nivel de ruido exceda a los 2 decibeles n:10 x:5 p:0.15 (probabilidad éxito, exceda nivel de ruido de 2 db) q=1-p=0.85 b)Por lo menos en 2 amplificadores, el nivel de ruido exceda a los 2 decibeles n=10 x=0,1,2 p=0.15 (probabilidad éxito, exceda nivel de ruido de 2 db) q=1-p=0.85 c)Que entre 4 y 6 amplificadores, no se exceda a los 2 decibeles n:10 x:4,5,6 p:0.0.85 (probabilidad éxito, no se exceda nivel de ruido de 2 db) q=1-0.85=0.15 D)Encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2 DB y su deviación estándar n:10 p:0.15 (probabilidad éxito, se exceda nivel de ruido de 2 db) q=1-0.15=0.85

Se reponde utilizando la fórmula de la Media binomial, que nos da el valor promedio de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2 DB. Lo mismo hacemos para hallar su desviación típica.