Binomial

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

En esta sociedad inversa, una buena forma de mentir es decir siempre la verdad. El 95% de las "personas" no te creerá y lograrás bastante enemigos.../Augusto Jiménez Márquez

Una distribución de probabilidad es un conjunto de valores distribuidos de acuerdo a la teoría de la probabilidad. Cuando los valores en un conjunto de datos son discretos, la distribución se denomina DISTRIBUCION DISCRETA DE PROBABILIDAD y cuando los valores son datos continuos, entonces se denomina DISTRIBUCION CONTINUA DE PROBABILIDAD .

Distribucion Binomial

a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, aprueba, no aprueba, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.

c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.

d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante. A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos permita cualquier problema que tenga este tipo de distribución.

Ejemplo: Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 caras.

Solución:

Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer es identificarlo como un problema que tiene una distribución binomial, y podemos decir que efectivamente así es, ya que se trata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, cara o sello, cuyas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los demás y el número de ensayos o repeticiones del experimento son constantes ( n = 3).

Para obtener la fórmula, definiremos lo siguiente:

n = número de lanzamientos de moneda.(n=3)

x = número de “éxitos” requeridos .(x=2)

p= (aparezca cara) =1/2

q =(aparezca sello) =1/2

Resolvemos la combinatoria y los productos indicados para encontrar la probabilidad pedida de que aparezcan 2 caras.

Por lo tanto la probabilidad de que aparezcan 2 caras (éxito) es igual a: 0.375

Para calcular la media y la desviación estándar de un experimento que tenga una distribución Binomial usaremos las siguientes fórmulas:

Media o valor esperado:

Donde: n = número de ensayos o repeticiones del experimento P = probabilidad de éxito o la probabilidad referente al evento del cual se desea calcular la media que se refiere la media q = complemento de P (q = 1-p)

Desviación estándar:

Ejemplo: Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos. Solución:

a)Dos accidentes se atribuya a errores humanos *

n = 5

x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos

x = 2 accidentes debidos a errores de tipo humano

p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75

q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25

b) Como máximo uno de los accidentes se atribuya a errores humanos.
*
n = 5
x = 0 + x= 1
p = 0.75
q = 0.25
c) Tres de los accidentes no se atribuyan e errores humanos.

En este caso cambiaremos el valor de p (representa ahora la probabilidad de que un accidente no se atribuya a errores humanos)

n =5

x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo humano

x = 3

p = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25

q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75

Luego la probabilidad solicitada es:

P(x=3;n=5,p=0.25)=10 * 0.0156*0.5625 =0.08775

Ejemplo:

Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.

a) El vapor se condense en 4 de los tubos:

n =12

x = variable que nos define el número de tubos en que el vapor se condensa

x = 4 tubos en el que el vapor se condensa

p =p(se condense el vapor en un tubo a 10 atm)= 0.40

q = p(no se condense el vapor en un tubo a 10 atm) = 1-p=0.60

b) El vapor se condense en más de 2 tubos.

Para resolver esta parte, buscamos la probabilidad de que los tubos no se condensen en los siguientes casos: x=0, x=1 y x=2. Sumamos estas probabilidades y luego la restamos de 1, la diferencia será la probabilidad solicitada de que el vapor se condense en más de 2 tubos.

n=12

x=0, x=1, x=2

p=0.60 (probabilidad de que los tubos no se condensen, sería el éxito en este caso)

q=0.40

C) Que exactamente 5 tubos se condensen:

n= 12

x= 5

p=0.40 (probabilidad de éxito; que se condensen)

q= 1-p=1-0.40=0.60 (probabilidad de fracaso, no se condensen)

Ejemplo:

La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que; a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB, b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c)que entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB, d)encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2 dB y su desviación estándar.

Solución: a)En sólo 5 de los amplificadores, el nivel de ruido exceda a los 2 decibeles n:10 x:5 p:0.15 (probabilidad éxito, exceda nivel de ruido de 2 db) q=1-p=0.85 b)Por lo menos en 2 amplificadores, el nivel de ruido exceda a los 2 decibeles n=10 x=0,1,2 p=0.15 (probabilidad éxito, exceda nivel de ruido de 2 db) q=1-p=0.85 c)Que entre 4 y 6 amplificadores, no se exceda a los 2 decibeles n:10 x:4,5,6 p:0.0.85 (probabilidad éxito, no se exceda nivel de ruido de 2 db) q=1-0.85=0.15 D)Encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2 DB y su deviación estándar n:10 p:0.15 (probabilidad éxito, se exceda nivel de ruido de 2 db) q=1-0.15=0.85

Se reponde utilizando la fórmula de la Media binomial, que nos da el valor promedio de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2 DB. Lo mismo hacemos para hallar su desviación típica.