Poisson

DISTRIBUCION DISCRETA DE PROBABILIDAD Distribucion de Poisson

Existen eventos que no ocurren como resultados de un número definido de pruebas de un experimento, sino en puntos aleatorios del tiempo o espacio en la que cada punto representa una ocurrencia del evento. Para eventos de este tipo, nos interesa sólo el número de ocurrencia del evento, no su falta de ocurrencia.

Características: En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc: - Nro. de autobuses que llegan al terminal durante cierta hora. - Nro. de errores de impresión en cada página de un libro. - Nro. de bacterias por cm2 de cultivo - Nro. de llamadas telefónicas a una central; por hora, minuto, etc. - Nro. de defectos de la superficie de una mesa, de un grupo de mercancías, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION DE POISSON
Ejemplo: Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) 4 cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? Solución: a)Los datos a usar son: b) En este caso estamos interesados en que se reciban 10 cheques sin fondos en dos días consecutivos. Ejemplo:

En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

Solución:

a) Si tenemos 0.2 imperfecciones en promedio por minuto, en 3 minutos tendremos en promedio:0.6 imperfeciones. Además estamos interesado en que aparezca 1 imperfección en 3 minutos

b) Si tenemos 0.2 imperfecciones en promedio por minuto, en 5 minutos tendremos en promedio: 1 imperfeción. Además estamos interesado en que aparezca al menos 2 imperfecciones en 5 minutos; es decir estamos interesados en que el número de éxitos sea: 2,3,4,5,6,7,...Para ello buscaríamos las imperfecciones menores a dos (x=0, x=1) y por diferencia (restando de uno)obtendríamos la probabilidad del número de éxitos mayor o igual a 2

c) Cuando más una (1)imperfección en 15 minutos. Aqui se refiere a que x sólo puede tomar dos valores: x=0 y x=1. Además si tenemos 0.2 imperfecciones en promedio por minuto; en 15 minutos tendremos en promedio: 3 imperfecciones

RELACION ENTRE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y DE POISSON.

En la Distribución Binomial, si N es grande, mientras que la probabilidad p de ocurrencia de un suceso está cerca de cero, de modo que q =(1-p) está cerca de 1. En la práctica se puede considerar N igual grande si el número de repeticiones del experimento (ensayos)es mayor o igual a 50 (N=> 50)mientras que N*p es menor que 5. En tales casos la distribución binomial se aproxima mucho a la distribución de Poisson, tomando en cuenta que:

Ejemplo:

Un 10% de los tornillos producidos en un cierto proceso de fabricación resulta ser defectuoso. Hallar la probabilidad de que en una muestra de 50 tornillos elegidos al azar sean exactamente 2 los defectuosos. Resolverlo mediante: a) La distribución binomial, (b) Mediante aproximación de Poisson a la binomial.

Solución:
Datos:
N=50
p=10% (porcentaje de tornillos defectuosos)
q=1-p=0.90
x=2 (excatamente dos sean defectuosos)
Si lo deseas, puedes bajarte un archivo de ayuda en: Click Aqui