viernes, 22 de julio de 2016

Distribución Normal

Distribución Continua de Probabilidad
"Existen las mentiras, grandes mentiras, y ... estadísticas" B. Disraeli
La Distribución Normal, Se dice que una variable aleatoria tiene una Distribución Normal si es continua, si existen las constantes: μ (con un valor entre menos infinito y más infinito) y σ (con un valor mayor que cero), y si su función de densidad está dada por la siguiente expresión:

donde X es una variable aleatoria normal, μ es la media, σ es la desviación típica, π es aproximadamente igual a: 3.14159, y e es aproximadamente igual: 2.71828.

Función densidad de Probabilidad.

  • Dado que la variable aleatoria continua es definida sobre un rango continuo de valores (llamado el dominio de la variable), la gráfica de la función de densidad también será continua sobre ese rango.
  • El área limitada por la curva de la función de densidad y el eje de las x es igual a uno (=1).
  • La probabilidad que una variable aleatoria asuma un valor entre a y b es igual al área debajo la función de densidad, limitada por a y b.
Por ejemplo, considere la función de densidad de probabilidad mostrada en la siguiente gráfica. Suponga que deseamos conocer la probabilidad que la variable aleatoria X sea menor que o igual a a. La probabilidad que X sea menor o igual a a es igual al área bajo la curva limitada por menos infinito y la a. (como se indica por la zona sombreada)..
Nota: El área rayada en la gráfica representa la probabilidad de que la variable aleatoria X es menor o igual a la a. Esto es una probabilidad acumulativa. Sin embargo, la probabilidad de que X sea exactamente igual a la a, sería cero. Una variable continua puede tomar un número infinito de valores. La probabilidad que sea igual a un valor específico (tal como a ) es siempre cero.

La Curva Normal.

La gráfica de la distribución normal depende de dos factores - la media y la desviación típica-. La media de la distribución determina la ubicación del centro de la gráfica, y la desviación estándar determina la altura y amplitud de la gráfica. Cuando la desviación es grande, la curva es baja y amplia; cuando la desviación es pequeña, la curva es alta y estrecha. Toda distribución normal se asemeja a una curva simétrica de forma acampanada.
Probabilidad y la Curva Normal.
La distribución normal es una distribución continua de probabilidad. Esto tiene varias implicaciones para la probabilidad.
  • El área total bajo la curva normal es igual a uno (= 1).
  • La probabilidad que una variable aleatoria normal X sea igual a cualquier valor particular es cero (= 0 ).
  • La probabilidad que X sea igual o mayor a la a corresponde al área bajo la curva normal limitada por a y más infinito (como se indica por el área no sombreada en la siguiente figura ).
  • La probabilidad que X sea menor o igual que a está dada por el área bajo la curva normal limitada por a y menos infinito. (como está indicado por la zona sombreada en la siguiente figura).
Adicionalmente, cada curva normal (sin tomar en cuenta sus media o desviación típica) conforme a la siguiente "regla":
  • Cerca del 68% del área bajo la curva esta determinada por 1 una desviación tipica a partir de la media.
  • Cerca del 95% del área bajo la curva está determinada por 2 desviaciones típica a partir de la media.
  • Cerca del 99.7% del área bajo la curva caen dentro de 3 desviaciones típicas de la media.

Propiedades adicionales de la Normal a)Un cambio en el valor de μ desplaza toda la distribución normal, mientras que un cambio en el valor de σ simplemente altera su posición relativa con relación a una escala fija. Estos hechos indican que la Distribución Normal es realmente una familia de distribuciones. b)Un cambio lineal en la escala para una Distribución Normal, implica una nueva Distribución Normal; es decir, si X es una variable Normal, entonces: Y=a+bX, (para a diferente de cero), es también una variable normal. c)Si X1, X2, X3,...,Xn son variables normales independientes, entonces su suma, S, es también una variable normal. Además, debido a la independencia, la propiedad aditiva es válida tanto para la esperanza como para la varianza; es decir, la esperanza de S es la suma de las esperanzas de las n variables normales. Asimismo, la varianza de S es la suma de las varianzas de las n variables normales. d)Si la variable aleatoria X está normalmente distribuida con μ  y σ , entonces : z = ( X μ ) / σ está también normalmente distribuida. Esta transformación de X a Z, se le llama transformación Z tiene el efecto de reducir X a unidades en términos de desviaciones estándar. En otras palabras, dado un valor de X, el correspondiente valor de Z nos dice cuán lejos y en qué dirección está X de su media μ  en términos de su desviación estándar . Por ejemplo, Z=1.5 significa que el valor particular de X es 1.5 a la derecha de μ . De manera similar, Z = -2 significa que el valor particular de X es 2 σ a la izquierda de μ. Esta propiedad de una variable normal, nos permite calcular las probabilidades normales,
cualesquiera que sean los valores deμyσ, a partir de un solo cuadro de probabilidad para la
distribución normal estandarizada (=tipificada)
Ejemplo No: 1.
El promedio de luz de un bombillo manaufacturado por Acme Corporation, alcanza los 300 días con una desviación estándar de 50 dias. Asumiendo que la vida del bombillo está normalmente distribuida. ¿Cuál es la probabilidad que un bombillo de Acme dure al menos 365 días ?
Solución:
Dada la media de 300 días y una desviación estándar de 50 días, deseamos encontrar la probabilidad acumulada que la vida del bombillo sea menor o igual a 365 días. Así, conocemos los siguientes datos: * El valor de la variable aleatoria normal es de 365 días. * La media es igual a 300 días. * La desviación estándar es igual a 50 días. Introducimos estos valores en la calculadora de la Distribución Normal y calculamos la probabilidad acumulada. La respuesta es: P( X <= 365) = 0.90. Es decir, hay un 90 % de probabilidad de que el bombillo se quemará dentro de 365 días.
En caso de no tener una calculadora de éste tipo, acudimos a la Distribución Normal Estándar, un caso especial de la Distribución Normal. Es la distribución que ocurre cuando una variable aleatoria normal tiene media igual a cero y una desviación típica igual a uno.
La variable aleatoria normal de una distribución normal estándar es llamado un resultado típico o resultado z (tipificado). Cada variable aleatoria normal X puede ser transformada en un resultado tipificado, a través de la siguiente ecuación:
z = (X - μ) / σ
donde X es una variable aleatoria normal, μ es la media de X, y σ es la desviación estándar de X.
Tabla de la Distribucion Normal Estándar. Una tabla de la distribución normal estándar muestra la probabilidad acumulada asociada con un particular resultado z (valor tipificado). La columna z muestra el número tipificado y las otras dos columnas f(-z) y f(z) muestran la probabilidad acumulada desde menos infinito hasta el valor z, dependiendo si éste es negativo o positivo. Por ejemplo, una sección de la tabla normal estándar es reproducida abajo. Para encontrar la probabilidad acumulada de un valor z igual a: -1.31 buscamos por la primera columna el valor 1.31 luego nos desplazamos a la segunda columna f(-z) por ser un número negativo. La tabla muestra que la probabilidad de que una variable normal estándar sea menor que: -1.31 es de 0.0951; esto es: P(Z < -1.31) = 0.0951.

De hecho, se puede desear conocer la probabilidad entre un valor dado y más infinito. O se puede desear conocer la probabilidad que una variable aleatoria normal esté entre dos valores dados. Estas probabilidades son fáciles de calcular a partir de una tabla de distribución normal. De la siguiente manera:
*Sea: P(Z > a), la probabilidad que una variable normal estándar (= z) sea más grande que un valor dado (= a). Se obtiene mediante la siguiente fórmula:

La Distribución Normal como un Modelo de Medidas.

A menudo, fenómenos en el mundo real siguen una normal o se aproximan a una distribución normal. Esto permite a los investigadores a usar la distribución normal como un modelo para determinar las probabilidades asociadas con dichos fenómenos. Típicamente, el análisis involucra dos pasos: *Transformar los datos brutos. Usualmente los datos brutos no están expresados en unidades tipificadas Z . Se deben transformar a unidades Z usando la ecuación ya vista recientemente:
z = (X - μ) / σ.

*Encontrar la probabilidad. Una vez los datos han sido transformados en unidades tipificadas, se puede utilizar las tablas de las distribución normal estándar, calculadoras on line o manejar calculadoras gráficas para hallar las probabilidades asociadas con las unidades tipificadas Z.

Problema:

La media de los diámetros interiores de una muestra de 200 arandelas producidas por una máquina es de: 0.502 pulgadas y la desviación típica: 0.005 pulgadas. El propósito para el que se destinan estas arandelas permite una tolerancia máxima en el diámetro de: 0.496 hasta 0.508 pulgadas, de otro modo, las arandelas se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de arandelas defectuosas producidas por la máquina, suponiendo que los diámetros se distribuyen normalmente.

Solución:
El rango de tolerancia para que las arandelas sean aceptadas como buena, está dado por el rango: 0.496 hasta 0.508. Estas medidas debemos tipificarlas y dibujarlas como una distribución normal
Problema:
La media de los pesos de 500 estudiantes de la Universidad de Los Andes es de: 151 libras y la desviación típica: 15 libras. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan (a) entre 120 y 155 libras, (b) más de 185 libras.
Solución:

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